lunes, 15 de abril de 2013

Leonhard Euler (1707-1783)





Euler trabajó en varias áreas de las matemáticas y es considerado como el mejor del siglo XVIII (Tomada de Google.com).

Euler



File:Leonhard Euler 2.jpg
Retrato de Leonhard Euler, pintado por Johann Georg Brucker
Nacimiento 15 de abril de 1707
Flag of Switzerland.svg Basilea (Suiza)
Fallecimiento 18 de septiembre de 1783
Bandera de Rusia San Petersburgo (Rusia)
Residencia Prusia, Rusia y Suiza
Nacionalidad Suizo
Campo matemáticas y física
Instituciones Academia de las ciencias de Rusia
Academia Prusiana de las Ciencias
Alma máter Universidad de Basilea
Supervisor doctoral Johann Bernoulli
Estudiantes
destacados		 Johann Friedrich Hennert
Joseph-Louis de Lagrange
Conocido por Número e
Identidad de Euler
Característica de Euler
Firma
File:Euler's signature.png

Leonhard Paul Euler /oile'h/ (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de 1783), conocido como Leonhard Euler, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempo


Leonhard Paul Euler /oile'h/ (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de 1783), conocido como Leonhard Euler, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos.
Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área delanálisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática.1 Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.
Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes.2 Una afirmación atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»3
En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.

Biografía

Primeros años

File:Euler-10 Swiss Franc banknote (front).jpg

Antiguo billete de 10 francos suizos con el retrato de Euler.
Euler nació en Basilea (Suiza), hijo de Paul Euler, un pastor calvinista, y de Marguerite Brucker, hija de otro pastor. Tuvo dos hermanas pequeñas llamadas Anna Maria y Maria Magdalena. Poco después de su nacimiento, su familia se trasladó de Basilea a la ciudad de Riehen, en donde Euler pasó su infancia. Por su parte, Paul Euler era amigo de la familiaBernoulli, famosa familia de matemáticos entre los que destacaba Johann Bernoulli, que en ese momento era ya considerado el principal matemático europeo, y que ejercería una gran influencia sobre el joven Leonhard.
La educación formal de Euler comenzó en la ciudad de Basilea, donde le enviaron a vivir con su abuela materna. A la edad de 13 años se matriculó en la Universidad de Basilea, y en 1723 recibiría el título de maestro de Filosofía tras una disertación comparativa de las filosofías de René Descartes e Isaac Newton. Por entonces, Euler recibía lecciones particulares de Johann Bernoulli todos los sábados por la tarde, quien descubrió rápidamente el increíble talento de su nuevo pupilo para las matemáticas.4
En aquella época Euler se dedicaba a estudiar teología, griego y hebreo siguiendo los deseos de su padre, y con la vista puesta en llegar a ser también pastor. Johann Bernoulli intervino para convencer a Paul Euler de que Leonhard estaba destinado a ser un gran matemático. En 1726 Euler finalizó su Doctorado con una tesis sobre la propagación del sonido bajo el título De Sono5 y en 1727 participó en el concurso promovido por la Academia de las Ciencias francesa por el cual se solicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma posible de ubicar el mástil en un buque. Ganó el segundo puesto, detrás de Pierre Bouguer, que es conocido por ser el padre de la arquitectura naval. Más adelante Euler conseguiría ganar ese premio hasta en doce ocasiones.6

San Petersburgo

Por aquella época, los dos hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolás, se encontraban trabajando en la Academia de las ciencias de Rusia en San Petersburgo. En julio de 1726, Nicolás murió de apendicitis tras haber vivido un año en Rusia y, cuando Daniel asumió el cargo de su hermano en el departamento de matemáticas y física, recomendó que el puesto que había dejado vacante en fisiología fuese ocupado por su amigo Euler. En noviembre de ese mismo año Euler aceptó la oferta, aunque retrasó su salida hacia San Petersburgo mientras intentaba conseguir, sin éxito, un puesto de profesor de física en la Universidad de Basilea.7


File:Euler-USSR-1957-stamp.jpg



Sello del año 1957 de la antigua Unión Soviéticaconmemorando el 250 aniversario del nacimiento de Euler. El texto dice: 250 años desde el nacimiento del gran matemático y académico Leonhard Euler.

Euler llegó a la capital rusa el 17 de mayo de 1727. Fue ascendido desde su puesto en el departamento médico de la Academia a un puesto en el departamento de matemáticas, en el que trabajó con Daniel Bernoulli, a menudo en estrecha colaboración. Euler aprendió el ruso y se estableció finalmente en San Petersburgo a vivir. Llegó incluso a tomar un trabajo adicional como médico de la Armada de Rusia.8
La Academia de San Petersburgo, creada por Pedro I de Rusia, tenía el objetivo de mejorar el nivel educativo en Rusia y de reducir la diferencia científica existente entre ese país y la Europa Occidental. Como resultado, se implementaron una serie de medidas para atraer a eruditos extranjeros como Euler. La Academia poseía amplios recursos financieros y una biblioteca muy extensa, extraída directamente de las bibliotecas privadas de Pedro I y de la nobleza. La Academia admitía a un número muy reducido de estudiantes para facilitar la labor de enseñanza, a la vez que se enfatizaba la labor de investigación y se ofrecía a la facultad tanto el tiempo como la libertad para resolver cuestiones científicas.9
Sin embargo, la principal benefactora de la Academia, la emperatriz Catalina I de Rusia, que había continuado con las políticas progresistas de su marido, murió el mismo día de la llegada de Euler a Rusia. Su muerte incrementó el poder de la nobleza, puesto que el nuevo emperador pasó a ser Pedro II de Rusia, por entonces un niño de tan sólo 12 años de edad. La nobleza sospechaba de los científicos extranjeros de la Academia, por lo que cortó la cuantía de recursos dedicados a la misma y provocó otra serie de dificultades para Euler y sus colegas.
Las condiciones mejoraron ligeramente tras la muerte de Pedro II, y Euler fue poco a poco ascendiendo en la jerarquía de la Academia, convirtiéndose en profesor de física en 1731. Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, harto de las dificultades que le planteaban la censura y la hostilidad a la que se enfrentaban en San Petersburgo, dejó la ciudad y volvió a Basilea. Euler le sucedió como director del departamento de matemáticas.10
El 7 de enero de 1734 Euler contrajo matrimonio con Katharina Gsell, hija de un pintor de la Academia. La joven pareja compró una casa al lado del río Neva y llegó a concebir hasta trece hijos, si bien sólo cinco sobrevivieron hasta la edad adulta.11

Berlín


File:Euler GDR stamp.jpg


Sello de la antigua República Democrática Alemana en honor a Euler en el 200 aniversario de su muerte. En medio se muestra su fórmula poliédrica para el grafo planar.

Preocupado por los acontecimientos políticos que estaban teniendo lugar en Rusia, Euler partió de San Petersburgo el 19 de juniode 1741 para aceptar un cargo en la Academia de Berlín, cargo que le había sido ofrecido por Federico II el Grande, rey de Prusia. Vivió veinticinco años en Berlín, en donde escribió más de 380 artículos. También publicó aquí dos de sus principales obras: laIntroductio in analysin infinitorum, un texto sobre las funciones matemáticas publicado en 1748, y la Institutiones calculi differentialis,12 publicada en 1755 y que versaba sobre el cálculo diferencial.13
Además, se le ofreció a Euler un puesto como tutor de la princesa de Anhalt-Dessau, la sobrina de Federico. Euler escribió más de 200 cartas dirigidas a la princesa que más tarde serían recopiladas en un volumen titulado Cartas de Euler sobre distintos temas de Filosofía Natural dirigidas a una Princesa Alemana. Este trabajo recopilaba la exposición de Euler sobre varios temas de físicas y matemáticas, así como una visión de su personalidad y de sus creencias religiosas. El libro se convirtió en el más leído de todas sus obras, y fue publicado a lo largo y ancho del continente europeo y en los Estados Unidos. La popularidad que llegaron a alcanzar estas Cartas sirve de testimonio sobre la habilidad de Euler de comunicar cuestiones científicas a una audiencia menos cualificada.13
Sin embargo, y a pesar de la inmensa contribución de Euler al prestigio de la Academia, fue obligado finalmente a dejar Berlín. El motivo de esto fue, en parte, un conflicto de personalidad entre el matemático y el propio Federico, que llegó a ver a Euler como una persona muy poco sofisticada, y especialmente en comparación con el círculo de filósofos que el rey alemán había logrado congregar en la Academia. Voltaire, en particular, era uno de esos filósofos, y gozaba de una posición preeminente en el círculo social del rey. Euler, como un simple hombre de carácter religioso y trabajador, era muy convencional en sus creencias y en sus gustos, representando en cierta forma lo contrario que Voltaire. Euler tenía conocimientos limitados de retórica, y solía debatir cuestiones sobre las que tenía pocos conocimientos, lo cual le hacía un objetivo frecuente de los ataques del filósofo.13 Por ejemplo, Euler protagonizó varias discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la retórica y la metafísica. Federico también mostró su descontento con las habilidades prácticas de ingeniería de Euler:
Quería tener una bomba de agua en mi jardín: Euler calculó la fuerza necesaria de las ruedas para elevar el agua a una reserva, desde la que caería después a través de canalizaciones para finalmente manar en el palacio de Sanssouci. Mi molino fue construido de forma geométrica y no podía elevar una bocanada de agua hasta más allá de cinco pasos hacia la reserva. ¡Vanidad de las vanidades! ¡Vanidad de la geometría!

Deterioro de la visión

File:Leonhard Euler.jpg


Retrato de Euler del año 1753 dibujado por Emanuel Handmann. El retrato sugiere problemas en el ojo derecho, así como un posible estrabismo. El ojo izquierdo parece sano, si bien más tarde Euler tuvo problemas de cataratas.15
File:Gedenktafel Behrenstr 21-22 Leonhard Euler.JPG

La vista de Euler fue empeorando a lo largo de su vida. En el año 1735 Euler sufrió una fiebre casi fatal, y tres años después de dicho acontecimiento quedó casi ciego de su ojo derecho. Euler, sin embargo, prefería acusar de este hecho al trabajo de cartografía que realizaba para la Academia de San Petersburgo.

La vista de ese ojo empeoró a lo largo de su estancia en Alemania, hasta el punto de que Federico hacía referencia a él como elCíclope. Euler más tarde sufrió cataratas en su ojo sano, el izquierdo, lo que le dejó prácticamente ciego pocas semanas después de su diagnóstico. A pesar de ello, parece que sus problemas de visión no afectaron a su productividad intelectual, dado que lo compensó con su gran capacidad de cálculo mental y su memoria fotográfica. Por ejemplo, Euler era capaz de repetir la Eneida de Virgilio desde el comienzo hasta el final y sin dudar en ningún momento, y en cada página de la edición era capaz de indicar qué línea era la primera y cuál era la última.2 También se sabía de memoria las fórmulas de trigonometría y las primeras 6 potencias de los primeros 100 números primos.16
Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos trabajos se los dictó a su hijo mayor. Esto incrementó el respeto que la comunidad científica ya tenía por el. El matemático francés François Arago (1786 – 1853) se refirió en cierta ocasión a él diciendo: "Euler calculaba sin esfuerzo aparente, como los hombres respiran, o como las águilas se sostienen en el aire".

Retorno a Rusia

File:Euler Grave at Alexander Nevsky Monastry.jpg


Tumba de Euler, ubicada en Monasterio de Alejandro Nevski.
La situación en Rusia había mejorado enormemente tras el ascenso de Catalina la Grande, por lo que en 1766 Euler aceptó una invitación para volver a la Academia de San Petersburgo para pasar ahí el resto de su vida. Su segunda época en Rusia, sin embargo, estuvo marcada por la tragedia: un incendio en San Petersburgo en 1771 le costó su casa y casi su vida, y en 1773 perdió a su esposa, que por entonces tenía 40 años de edad. Euler se volvió a casar tres años más tarde.
El 18 de septiembre de 1783 Euler falleció en la ciudad de San Petersburgo tras sufrir un accidente cerebrovascular, y fue enterrado junto con su esposa en el Cementerio Luterano ubicado en la isla de Vasilievsky. Sus restos fueron trasladados por los soviéticos alMonasterio de Alejandro Nevski (también conocido como Leningradsky Nikropol).
El matemático y filósofo francés Nicolas de Condorcet escribió su elogio funeral para la Academia francesa.
…il cessa de calculer et de vivre — … dejó de calcular y de vivir.17
Por su parte, Nikolaus von Fuss, ahijado de Euler y secretario de la Academia Imperial de San Petersburgo, escribió un relato de su vida junto con un listado de sus obras.

Contribución a las matemáticas y a otras áreas científicas

Euler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Adicionalmente, aportó de manera relevante a la lógica matemática con su diagrama de conjuntos.
Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos, llamados Opera Omnia,18 comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar 76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importancia fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes.2 Además, y según el matemático Hanspeter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado más de un 10 % de sus escritos.19 Por todo ello, el nombre de Euler está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.
Se cree que fue el que dio origen al pasatiempos Sudoku creando una serie de pautas para el cálculo de probabilidades.20

Notación matemática

Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática,1 siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último.
También introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el número e es conocido también como el número de Euler), la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra i para hacer referencia a la unidad imaginaria.21 El uso de la letra griega π para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque él no fue el primero en usar ese símbolo.22

Análisis

El desarrollo del cálculo era una de las cuestiones principales de la investigación matemática del siglo XVIII, y la familia Bernoulli había sido responsable de gran parte del progreso realizado hasta entonces. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en uno de los principales objetos del trabajo de Euler. Si bien algunas de sus demostraciones matemáticas no son aceptables bajo los estándares modernos de rigor matemático,23 es cierto que sus ideas supusieron grandes avances en ese campo.




e es el único número real para el valor a para el cual se cumple que el valor de derivada de la función f (x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es exactamente 1. En comparación se muestran las funciones 2x (línea punteada) y 4x (línea discontinua), que no son tangentes a la línea de pendiente 1 (en rojo).

El número e


Euler definió la constante matemática conocida como número e como aquel número real tal que el valor de la derivada (la pendiente de la línea tangente) de la función f(x)=ex en el punto x=0 es exactamente 1. Es más, es el número real tal que la función f(x)=ex se tiene como derivada a sí misma. La función ex es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo neperiano, también llamado logaritmo natural o logaritmo en base e.
El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, unafracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es como el límite:
e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n, e=\lim_{n\to 0}\left(1+n\right)^\frac{1}{n}

y también como la serie:
e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}
Además, Euler es muy conocido por su análisis y su frecuente utilización de la serie de potencias, es decir, la expresión de funciones como una suma infinita de términos como la siguiente:
e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right).
Uno de los famosos logros de Euler fue el descubrimiento de la expansión de series de potencias de la función arcotangente. Su atrevido aunque, según los estándares modernos, técnicamente incorrecto uso de las series de potencias le permitieron resolver el famoso problema de Basilea en 1735,23 por el cual quedaba demostrado que:
\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}.





Interpretación geométrica de lafórmula de Euler


Euler introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos en las demostraciones analíticas. Descubrió formas para expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos, expandiendo enormemente el ámbito de la aplicación matemática de los logaritmos.24 También definió la función exponencial para números complejos, y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. Para cualquier número real φ, la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja puede establecerse mediante la siguiente fórmula:
e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi.\,
Siendo un caso especial de la fórmula (cuando \varphi =  \pi ), lo que se conoce como la identidad de Euler:
e^{i \pi} +1 = 0 \,
Esta fórmula fue calificada por Richard Feynman como «la fórmula más reseñable en matemáticas», porque relaciona las principales operaciones algebraicas con las importantes constantes 0, 1, e, i y π, mediante la relación binaria más importante.25 En 1988, los lectores de la revista especializada Mathematical Intelligencer votaron la fórmula como «la más bella fórmula matemática de la historia».26 En total, Euler fue el responsable del descubrimiento de tres de las cinco primeras fórmulas del resultado de la encuesta.26
Además de eso, Euler elaboró la teoría de las funciones trascendentes (aquellas que no se basan en operaciones algebraicas) mediante la introducción de la función gamma, e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de cuarto grado. También descubrió una forma para calcular integrales con límites complejos, en lo que sería en adelante del moderno análisis complejo, e inventó el cálculo de variaciones incluyendo dentro de su estudio a las que serían llamadas las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Euler también fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas teóricos de carácter numérico. Con ello, Euler unió dos ramas separadas de las matemáticas para crear un nuevo campo de estudio, la teoría analítica de números. Para ello, Euler creó la teoría de las series hipergeométricas, las series q, las funciones hiperbólicas trigonométricas y la teoría analítica de fracciones continuas. Por ejemplo, demostró que la cantidad de números primos es infinita utilizando la divergencia de series armónicas, y utilizó métodos analíticos para conseguir una mayor información sobre cómo los números primos se distribuyen dentro de la sucesión de números naturales. El trabajo de Euler en esta área llevaría al desarrollo del teorema de los números primos.27

Teoría de números

El interés de Euler en la teoría de números procede de la influencia de Christian Goldbach, amigo suyo durante su estancia en la Academia de San Petersburgo. Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se basan en los trabajos de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de este matemático francés pero descartó también algunas de sus conjeturas.
Euler unió la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del análisis matemático. Demostró la divergencia de la suma de los inversos de los números primos y, al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la función zeta de Riemann.
Euler también demostró las identidades de Newton, el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados e hizo importantes contribuciones alteorema de los cuatro cuadrados de Joseph-Louis de Lagrange. También definió la función φ de Euler que, para todo número entero positivo, cuantifica el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Más tarde, utilizando las propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que se conoce como elteorema de Euler.
Contribuyó de manera significativa al entendimiento de los números perfectos, tema que fascinó a los matemáticos desde los tiempos de Euclides, y avanzó en la investigación de lo que más tarde se concretaría en el teorema de los números primos. Los dos conceptos se consideran teoremas fundamentales de la teoría de números, y sus ideas pavimentaron el camino del matemático Carl Friedrich Gauss.28
En el año 1772, Euler demostró que 231 - 1 = 2 147 483 647 es un número primo de Mersenne. Esta cifra permaneció como el número primo más grande conocido hasta el año 1867.29

Teoría de grafos y geometría

Artículo principal: Problema de los puentes de Königsberg.

Mapa de la ciudad de Königsberg, en tiempos de Euler, que muestra, resaltado en verde, el lugar en donde se encontraban ubicados los siete puentes.
En 1736, Euler resolvió el problema conocido como problema de los puentes de Königsberg.30 La ciudad de Königsberg, en Prusia Oriental (actualmente Kaliningrado, en Rusia), estaba localizada en el río Pregel, e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre ellas por un puente, y con las dos riberas del río mediante seis puentes (siete puentes en total). El problema que se planteaban sus habitantes consistía en decidir si era posible seguir un camino, y cómo hacerlo, que cruzase todos los puentes una sola vez y que finalizase llegando al punto de partida. Euler logró demostrar matemáticamente que no lo hay. No hay lo que se denomina hoy un ciclo euleriano en el grafo que modela el terreno), debido a que el número de puentes es impar en más de dos de los bloques (representados por vértices en el grafo correspondiente).
A esta solución se la considera el primer teorema de teoría de grafos y de grafos planares.30 Euler también introdujo el concepto conocido como característica de Euler del espacio, y una fórmula que relacionaba el número de lados, vértices y caras de un polígono convexo con esta constante. El teorema de poliedros de Euler, que básicamente consiste en buscar una relación entre número de caras, aristas y vértices en los poliedros. Utilizó esta idea para demostrar que no existían más poliedros regulares que los sólidos platónicos conocidos hasta entonces. El estudio y la generalización de esta fórmula, especialmente por Cauchy31 y L'Huillier,32 supuso el origen de la topología.33 34
Dentro del campo de la geometría analítica descubrió además que tres de los puntos notables de un triángulo —baricentro, ortocentro y circuncentro— podían obedecer a una misma ecuación, es decir, a una misma recta. A la recta que contiene el baricentro, ortocentro y circuncentro se le denomina «Recta de Euler» en su honor.

Matemática aplicada

Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del mundo real a través del análisis matemático, en lo que se conoce como matemática aplicada, y en la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el método de fluxión de Newton, y desarrolló herramientas que hacían más fácil la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, en particular mediante la introducción de laconstante de Euler-Mascheroni:
\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n) \right).
Por otro lado, uno de los intereses más llamativos de Euler fue la aplicación de las ideas matemáticas sobre la música. En 1739 escribió su obra Tentamen novae theoriae musicae, esperando con ello poder incorporar el uso de las matemáticas a la teoría musical. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no atrajo demasiada atención del público, y llegó a ser descrita como demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos.35

Física y astronomía

Euler ayudó a desarrollar la ecuación de la curva elástica, que se convirtió en el pilar de la ingeniería. Aparte de aplicar con éxito sus herramientas analíticas a los problemas demecánica clásica, Euler también las aplicó sobre los problemas de los movimientos de los astros celestes. Su trabajo en astronomía fue reconocido mediante varios premios de la Academia de Francia a lo largo de su carrera, y sus aportes en ese campo incluyen cuestiones como la determinación con gran exactitud de las órbitas de los cometas y de otros cuerpos celestes, incrementando el entendimiento de la naturaleza de los primeros, o el cálculo del paralaje solar. Formula siete leyes o principios fundamentales sobre la estructura y dinámica del Sistema Solar y afirma que los distintos cuerpos celestes y planetarios rotan alrededor del Sol siguiendo una orbita de forma elíptica. Sus cálculos también contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud más exactas para la navegación.36 También publicó trabajos sobre el movimiento de la Luna.
Además, Euler llevó a cabo importantes contribuciones en el área de la óptica. No estaba de acuerdo con las teorías de Newton sobre la luz, desarrolladas en su obra Opticks, y que eran la teoría prevalente en aquel momento. Sus trabajos sobre óptica desarrollados en la década de 1740 ayudaron a que la nueva corriente que proponía una teoría de la luz en forma de onda, propuesta por Christiaan Huygens, se convirtiese en la teoría hegemónica. La nueva teoría mantendría ese estatus hasta el desarrollo de la teoría cuántica de la luz.37
En el campo de la mecánica Euler, en su tratado de 1739, introdujo explícitamente los conceptos de partícula y de masa puntual y la notación vectorial para representar lavelocidad y la aceleración, lo que sentaría las bases de todo el estudio de la mecánica hasta Lagrange. En el campo de la mecánica del sólido rígido definió los llamados «tres ángulos de Euler para describir la posición» y publicó el teorema principal del movimiento, según el cual siempre existe un eje de rotación instantáneo, y la solución del movimiento libre (consiguió despejar los ángulos en función del tiempo).
En hidrodinámica estudió el flujo de un fluido ideal incompresible, detallando las ecuaciones de Euler de la hidrodinámica.
Adelantándose más de cien años a Maxwell previó el fenómeno de la presión de radiación, fundamental en la teoría unificada del electromagnetismo. En los cientos de trabajos de Euler se encuentran referencias a problemas y cuestiones tremendamente avanzadas para su tiempo, que no estaban al alcance de la ciencia de su época.

Lógica

En el campo de la lógica, se atribuye a Euler el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogístico (1768). Las representaciones de este tipo reciben el nombre dediagramas de Euler.38

Arquitectura e ingeniería

En este campo, Euler desarrolló la ley que lleva su nombre sobre el pandeo de soportes verticales y generó una nueva rama de ingeniería con sus trabajos sobre la carga crítica de las columnas.

Creencias religiosas y filosóficas

Euler y su amigo Daniel Bernoulli se oponían al monismo de Leibniz y a la corriente filosófica representada por Christian Wolff. Euler insistía en que el conocimiento se basa en parte en la existencia de leyes cuantitativas precisas, algo que el monismo y las teorías filosóficas de Wolff no eran capaces de proveer. Sus inclinaciones religiosas también pueden haber contribuido a que le desagradase ese tipo de doctrinas, hasta el punto de que llegó a catalogar las ideas de Wolff como «paganas y ateas».39
Gran parte del conocimiento que tenemos de las creencias religiosas de Euler se deduce de su obra Cartas a una Princesa Alemana, así como de un trabajo anterior llamadoRettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister (en español, Defensa de la revelación divina frente a las objeciones de los librepensadores). Estos trabajos muestran a Euler como un cristiano convencido que defendía la interpretación literal de la Biblia (por ejemplo, su obra Rettung era principalmente una discusión en defensa de la inspiración divina de las escrituras).40

Obra

Portada de la obra de Euler tituladaMethodus inveniendi líneas curvas.
Euler cuenta con una extensísima bibliografía, en esta sección se puede encontrar alguna referencia sobre algunas de sus obras más conocidas o importantes.
  • Mechanica, sive motus scientia analytica exposita41 (1736)
  • Tentamen novae theoriae musicae (1739)
  • Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741)
  • Methodus inveniendi líneas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744).
  • Introductio in Analysis Infinitorum (1748)
  • Institutiones Calculi Differentialis (1765)
  • Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765)
  • Institutiones Calculi Integralis (1768-1770)
  • Vollständige Anleitung zur Algebra42 (1770)
  • Lettres à une Princesse d'Allemagne (Cartas a una Princesa Alemana)43 (1768–1772).
En 1911, la Academia Suiza de las Ciencias comenzó la publicación de una colección definitiva de los trabajos de Euler titulada Opera Omnia.18 Existe un plan para la ampliación de la obra a la publicación de la correspondencia (en el año 2008 se han publicado ya tres volúmenes de correspondencia) y los manuscritos de Euler, aunque no se ha especificado ninguna fecha para su edición.44

Véase también

Notas

  1. ↑ a b Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. pp. 17.
  2. ↑ a b c Finkel, B.F. (1897). «Biography- Leonard Euler». The American Mathematical Monthly 4 (12):  pp. 300.
  3. ↑ Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. pp. xiii. «Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous.»
  4. ↑ James, Ioan (2002). Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge. pp. 2. ISBN 0-521-52094-0.
  5. ↑ «Traducción al inglés por Ian Bruce del Ph.D de Euler» (pdf). Consultado el 08-04-2005.
  6. ↑ Calinger, Ronald (1996). «Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)». Historia Mathematica 23 (2):  pp. 156.
  7. ↑ Calinger, Ronald (1996). «Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)». Historia Mathematica 23 (2):  pp. 125.
  8. ↑ Calinger, Ronald (1996). «Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)». Historia Mathematica 23 (2):  pp. 127.
  9. ↑ Calinger, Ronald (1996). «Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)». Historia Mathematica 23 (2):  pp. 124.
  10. ↑ Calinger, Ronald (1996). «Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)». Historia Mathematica 23 (2):  pp. 128–129.
  11. ↑ Fuss, Nicolas. «Eulogy of Euler by Fuss».
  12. ↑ «Institutiones calculi differentialis (traducción en inglés)». Consultado el 08-04-2008.
  13. ↑ a b c Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. pp. xxiv–xxv.
  14. ↑ Frederick II of Prussia (1927). Letters of Voltaire and Frederick the Great, Letter H 7434, 25 January 1778. New York: Brentano's.
  15. ↑ Calinger, Ronald (1996). «Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)». Historia Mathematica 23 (2):  pp. 154–155.
  16. ↑ «Biografía de Euler». Consultado el 10-04-2005.
  17. ↑ Marquis de Condorcet. «Eulogy of Euler - Condorcet».
  18. ↑ a b Opera Omnia en http://www.eulerarchive.org
  19. ↑ Mónica Salomone (26-12-2007). «Entrevista en el periódico El País a Hanspeter Kraft». Consultado el 08-04-2008. Entrevista en el periódico El País a Hanspeter Kraft
  20. ↑ Historia del Sudoku
  21. ↑ Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach. A History of Mathematics. John Wiley & Sons. pp. 439–445. ISBN 0-471-54397-7.
  22. ↑ Wolfram, Stephen. «Mathematical Notation: Past and Future».
  23. ↑ a b Wanner, Gerhard; Harrier, Ernst (March de 2005). Analysis by its history (1st edición). Springer. pp. 62.
  24. ↑ Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C.. A History of Mathematics. John Wiley & Sons. pp. 439–445. ISBN 0-471-54397-7.
  25. ↑ Feynman, Richard. «Chapter 22: Algebra». The Feynman Lectures on Physics: Volume I. pp. p.10.
  26. ↑ a b Wells, David (1990). «Are these the most beautiful?». Mathematical Intelligencer12 (3):  pp. 37–41.
    Wells, David (1988). «Which is the most beautiful?». Mathematical Intelligencer 10 (4):  pp. 30–31.
    Véase también *Peterson, Ivars. «The Mathematical Tourist». Consultado el marzo de 2008. }}
  27. ↑ Dunham, William (1999). «3,4». Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America.
  28. ↑ Dunham, William (1999). «1,4». Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America.
  29. ↑ Caldwell, Chris. «The largest known prime by year» (en inglés). The Prime Pages.Universidad de Tennessee.
  30. ↑ a b Alexanderson, Gerald (July 2006). «Euler and Königsberg's bridges: a historical view». Bulletin of the American Mathematical Society.
  31. ↑ Cauchy, A.L. (1813). «Recherche sur les polyèdres—premier mémoire». Journal de l'Ecole Polytechnique 9 (Cahier 16):  pp. 66–86.
  32. ↑ L'Huillier, S.-A.-J. (1861). «Mémoire sur la polyèdrométrie». Annales de Mathématiques 3:  pp. 169–189.
  33. ↑ Marta Macho Stadler. «¿Qué es la topología?» (pdf). Consultado el 10-04-2005.
  34. ↑ David Garro Moreno. «Historia de la topología» (pdf). Consultado el 10-04-2005.
  35. ↑ Calinger, Ronald (1996). «Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)». Historia Mathematica 23 (2):  pp. 144–145.
  36. ↑ Youschkevitch, A P; Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970–1990).
  37. ↑ Home, R.W. (1988). «Leonhard Euler's 'Anti-Newtonian' Theory of Light». Annals of Science 45 (5):  pp. 521–533.
  38. ↑ Baron, M. E.; A Note on The Historical Development of Logic Diagrams. The Mathematical Gazette: The Journal of the Mathematical Association. Vol LIII, no. 383 May 1969.
  39. ↑ Calinger, Ronald (1996). «Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)». Historia Mathematica 23 (2):  pp. 153–154.
  40. ↑ Euler, Leonhard (1960). Orell-Fussli. ed. «Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister». Leonhardi Euleri Opera Omnia (series 3) 12.
  41. ↑ «Mechanica, sive motus scientia analytica exposita» (en francés). Consultado el 08-04-2008.
  42. ↑ «Vollständige Anleitung zur Algebra» (en francés). Consultado el 08-04-2008.
  43. ↑ «Lettres à une Princesse d'Allemagne t. 1» (en francés). Consultado el 08-04-2008. «Lettres à une Princesse d'Allemagne t. 2» (en francés). Consultado el 08-04-2008. «Lettres à une Princesse d'Allemagne t. 3» (en francés). Consultado el 08-04-2008.
  44. ↑ «Información sobre la Opera Omnia y otras publicaciones de trabajos de Euler». Consultado el 08-04-2008.

Otras lecturas

  • Lexikon der Naturwissenschaftler, 2000. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
  • Demidov, S.S., 2005, «Treatise on the differential calculus» en Grattan-Guiness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 191-98.
  • Dunham, William (1999) Euler: The Master of Us All, Washington: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-328-0.
  • Fraser, Craig G., 2005, «Book on the calculus of variations» en Grattan-Guiness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 168-80.
  • Gladyshev, Georgi, P (2007) «Leonhard Euler’s methods and ideas live on in the thermodynamic hierarchical theory of biological evolution», International Journal of Applied Mathematics & Statistics (IJAMAS) 11 (N07), Special Issue on Leonhard Paul Euler’s: Mathematical Topics and Applications (M. T. A.).
  • W. Gautschi (2008). «Leonhard Euler: his life, the man, and his works». SIAM Review 50 (1):  pp. 3–33. doi:10.1137/070702710.
  • Heimpell, Hermann, Theodor Heuss, Benno Reifenberg (editors). 1956. Die großen Deutschen, volume 2, Berlin: Ullstein Verlag.
  • Krus, D.J (2001) «Is the normal distribution due to Gauss? Euler, his family of gamma functions, and their place in the history of statistics», Quality and Quantity: International Journal of Methodology, 35: 445-46.
  • Nahin, Paul (2006) Dr. Euler's Fabulous Formula, New Jersey: Princeton, ISBN 978-0-691-11822-2
  • Reich, Karin, 2005, «Introduction' to analysis» en Grattan-Guiness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 181-90.
  • Sandifer, Edward C (2007), The Early Mathematics of Leonhard Euler, Washington: Mathematical Association of America. IBSN 10: 0-88385-559-3
  • Simmons, J (1996) The giant book of scientists: The 100 greatest minds of all time, Sydney: The Book Company.
  • Singh, Simon (1997). Fermat's last theorem, Fourth Estate: New York, ISBN 1-85702-669-1
  • Thiele, Rüdiger (2005). «The mathematics and science of Leonhard Euler», in Mathematics and the Historian's Craft: The Kenneth O. May Lectures, G. Van Brummelen and M. Kinyon (eds.), CMS Books in Mathematics, Springer Verlag. ISBN 0-387-25284-3.
  • «A Tribute to Leohnard Euler 1707-1783». Mathematics Magazine 56 (5). November 1983.

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